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Algebra

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Divisione tra polinomi

Distinguiamo due possibili tipi di divisione: quella tra un polinomio ed un monomio e quella tra due polinomi. Per quanto riguarda la divisione tra un polinomio ed un monomio basta dividere ogni monomio del polinomio per il monomio divisore.
Vediamo qualche esempio:

Esempio $$(2a^4+3a^3b-ab^5)\div2a^2b=(2a^4\div2a^2b)+(3a^3b\div2a^2b)-(ab^5\div2a^2b)=a^2b^{-1}+\frac{3}{2}a-\frac{1}{2}a^{-1}b^4$$ Per la divisione tra due polinomi vi sono 2 metodi diversi: il metodo di Ruffini che è veloce e semplice ma non può essere usato sempre ed il metodo detto Canonico.

Metodo Canonico

Consideriamo per semplicità polinomi con parte letterale composta da una sola lettera; si procede come fosse una divisione tra numeri(in genere si suppone che il polinomio al numeratore sia di grado uguale o superiore a quello del denominatore). Vediamo praticamente come si procede:



Abbiamo quindi diviso il primo monomio del dividendo per il primo monomio del divisore; poi abbiamo moltiplicato questo risultato per tutto il polinomio divisore e abbiamo sottratto il risultato al polinomio dividendo. Allo stesso modo si procede ai passi successivi finché non rimane che il resto.

Metodo di Ruffini

Questo metodo rappresenta una velocizzazione e semplificazione del calcolo del quoziente; purtroppo è applicabile solo quando il divisore è un binomio di primo grado. Applichiamolo allo stesso esempio precedente:



In alto vanno i coefficienti numerici(col proprio segno) con quello del termine noto fuori dalla barra verticale(devono essere scritti i coefficienti di tutti i gradi del polinomio; dove manca il termine il coefficiente è 0); in basso a sinistra fuori dalla barra verticale ci va il coefficiente numerico del binomio divisore cambiato di segno. Si procede abbassando il primo coefficiente, moltiplicandolo per il numero posto a sinistra e ponendo il risultato sotto il secondo coefficiente; a questo punto si effettua l'addizione o la sottrazione(dipende dai segni) e si pone il risultato sotto la barra orizzontale.Si continua così al passo successivo moltiplicando questo risultato di nuovo per il numero a sinistra e così via. L'ultimo numero in basso a destra rappresenta il resto della divisione. Si può anche conoscere in anticipo il resto della divisione ponendo, nel polinomio, la lettera uguale all'opposto del termine noto del divisore. Consideriamo la seguente divisione $$(6a^5+8a^3+4a^2+a+2)\div(2a+1)$$ Per conoscere il resto basta sostituire nel polinomio dividendo il valore -1 al posto della lettera a

resto \( =6\cdot(-1)^5+8\cdot(-1)^3+4\cdot(-1)^2+(-1)+2=-6-8+4-1+2=-9 \)



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