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Algebra

Insiemi Numerici Le Potenze I Monomi I Polinomi Prodotti Notevoli Divisione tra Polinomi Scomposizione di Polinomi m.c.m. M.C.D. Frazioni Algebriche Equazioni I grado Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni ai moduli Problemi di I grado Sistemi di I grado Metodi risolutivi Sistemi Metodo di Sostituzione Metodo di riduzione Metodo del confronto Metodo di Cramer Cenni sulle Matrici Studio sistemi indeterminati Valutazione sistemi impossibili Disequazioni di I grado Disequazioni letterali Sistemi di Disequazioni Disequazioni fratte Disequazioni scomponibili Disequazioni ai moduli Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Disequazioni di grado superiore al primo scomponibili

Le disequazioni di grado superiore al primo scomponibili sono quelle in cui portata la disequazione in forma normale si riesce a scomporre il primo membro nel prodotto di più polinomi tutti di primo grado. In questo caso per trovare l'insieme delle soluzioni ci affidiamo alle regole del prodotto dei segni; in particolare studiamo il segno dei polinomi fattori singolarmente e poi aiutandoci con la loro rappresentazione grafica ricaviamo il segno del prodotto. Adesso non ci resta che osservare il verso della disequazione:
-se il prodotto è maggiore di zero consideriamo come insieme di soluzioni quello per il quale il segno del prodotto è positivo;
-se il prodotto è minore di zero, invece, l'insieme di soluzioni è quello per il quale il segno del prodotto è negativo.
Vediamo un esempio; consideriamo la disequazione$$x^3+5x^2+8x+4>0$$Scomponiamo il primo membro con il metodo di Ruffini utilizzando n=-1 infatti se alla x sostituiamo -1 otteniamo che il polinomio si annulla. Quindi scriviamo$$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\ -1 \end{matrix} & \begin{vmatrix} 1 & 5 &8 \\ \blacktriangledown & & \\ \blacktriangledown & -1 & -4 \end{vmatrix} & \begin{matrix} 4 \\ \\ -4 \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} \ \ & \begin{vmatrix} 1 & +4 & +4 \end{vmatrix} & 0 \end{matrix}}$$ed otteniamo$$(x+1)\cdot(x^2+4x+4)>0$$ma il trinomio è proprio il quadrato del binomio (x+2) quindi otteniamo$$(x+1)\cdot(x+2)^2>0 \ \ \rightarrow \ \ (x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+2)>0$$A questo punto dovremmo studiare separatamente il segno dei tre fattori ma in questo caso poiché il binomio (x+2) è elevato al quadrato il suo segno risulterà sempre positivo. Riportiamo allora sul grafico solo i segni del binomio (x+1) e del binomio \( (x+2)^2 \) ricordando che:
\( x+1>0 \ \ \rightarrow \ \ x>-1 \) mentre \( (x+2)^2>0 \) sempre.

L'insieme soluzione è quello costituito dalle \( x>-1 \) per il quale il prodotto tra i binomi è positivo.

Disequazioni fratte di grado superiore al primo scomponibili

Si procede portando la disequazione nella forma di una frazione che sia maggiore o minore di zero; a questo punto si scompone numeratore e denominatore in tutti polinomi di primo grado e si studia separatamente il segno di ogni polinomio. Poiché sia per la moltiplicazione che per la divisione vale la stessa regola per il segno del risultato possiamo rappresentare i segni dei polinomi su uno stesso grafico e ricavare allo stesso modo il segno del risultato.
Vediamo un esempio; consideriamo la disequazione$$\frac{(x+2)\cdot(x-3)}{(x-1)\cdot(x-4)} <0$$Studiamo allora il segno di ogni fattore imponendolo maggiore di zero.

\( x+2> 0 \ \ \rightarrow \ \ \ x> -2 \)
\( x-3> 0 \ \ \rightarrow \ \ \ x> 3 \)
\( x-1>0 \ \ \rightarrow \ \ \ x>1 \)
\( x-4>0 \ \ \rightarrow \ \ \ x>4 \)

Mettiamo tutto in ungrafico per ricavare il segno del prodotto.

L'insieme delle soluzioni è quindi quello per il quale il prodotto ha segno positivo e quindi vale$$-2< x < 1 \ \cup \ 3< x < 4$$


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