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Algebra

Disequazioni irrazionali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

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Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

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Geometria

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Disequazioni irrazionali


Una disequazione si dice irrazionale se almeno una incognita compare sotto il segno di radice

Come per le equazioni irrazionali anche per le disequazioni dobbiamo stare attenti alle condizioni di realtà delle radici; dobbiamo quindi indicare quello che è chiamato dominio della disequazione cioè l'insieme di valori che può assumere la variabile in modo che le radici siano definite. Quindi quando la disequazione contiene solo radici ad indice dispari non avremo bisogno di porre alcuna condizione dovuta alla radice (naturalmente se sotto radice troviamo una frazione dobbiamo porre la condizione di realtà per essa cioè il denominatore diverso da zero); per ogni radice ad indice pari, presente nella disequazione, invece dobbiamo porre la condizione che sia il radicando maggiore o uguale a zero (nell'insieme dei numeri reali non esiste la radice di un numero negativo) per poi trovare i valori della variabile per i quali tutte le radici siano definite simultaneamente.

risoluzione della disequazione irrazionale

Per risolvere una disequazione irrazionale dobbiamo prima trasformarla in una o più disequazioni razionali ad essa equivalenti. Per semplicità consideriamo le disequazioni in cui sia presente un solo radicale; cioè disequazioni del tipo $$\sqrt[n]{f(x)} \ \begin{matrix} < \\ > \end{matrix} \ g(x)$$Per prima cosa notiamo che una qualsiasi disequazione dove è presente un solo radicale si può scrivere nella forma riportata sopra dove il segno della radice è positivo; studiamo adesso separatamente i due casi: l'indice di radice è pari oppure l'indice di radice è dispari.

indice di radice dispari

Ricordiamo che quando si eleva ad una potenza dispari due numeri, essi conservano il loro rapporto d'ordine cioè se a > b risulta che \(a^{2n+1} > b^{2n+1} \) dove (2n+1) è un binomio che serve per indicare un numero dispari. Inoltre ricordiamo che non vi è nessuna condizione sull'esistenza del radicale quindi per risolvere una disequazione di questo tipo basterà elevare alla potenza ennesima i due membri della disequazione e risolvere la disequazione razionale ottenuta.$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x) \rightarrow f(x) < [g(x)]^n \\ \sqrt[n]{f(x)} > g(x) \rightarrow f(x) > [g(x)]^n$$

eserzizio

Risolvere la seguente disequazione irrazionale$$\sqrt[3]{x^3+3x-4} < x-1$$ Non vi sono posizioni da prendere perché l'indice di radice è dispari quindi eleviamo semplicemente al cubo i due membri e svolgiamo la disequazione razionale.$$(\sqrt[3]{x^3+3x-4})^3 < (x-1)^3 \\ x^3+3x-4 < x^3-1-3x^2+3x \\-3 < -3x^2 \\ -1 < -x^2 \\ 1 > x^2 \\ x^2 < 1$$sono soluzione di questa disequazione i valori della x interni all'intervallo -1 +1 cioè $$-1 < x < 1$$

indice di radice pari

Osserviamo che il principio espresso prima per l'innalzamento a potenza dispari di due numeri non è valido quando l'esponente è pari ma esso si modifica come segue: quando si eleva ad una potenza pari due numeri, essi conservano il loro rapporto d'ordine solo se entrambi i numeri sono non negativi cioè se \(a\geq0 \textrm{ e } b\geq0\) ed a>b si ha \( a^{2n} > b^{2n} \) dove il valore 2n serve ad indicare un numero pari.
Da questo principio ricaviamo che per potere elevare ad una potenza pari una disequazione ed ottenerne un'altra equivalente c'è bisogno che entrambi i membri della stessa siano non nulli. Consideriamo adesso una disequazione dove il radicale è minore dell'espressione a secondo membro.$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$$Come prima cosa dobbiamo porre la condizione di esistenza del radicale cioè \(f(x) \geq 0\); notiamo che questa condizione ci garantisce anche che il primo membro della disequazione è non nullo perché un radicale, dove è definito, è sempre un valore positivo. Osserviamo allora che se il secondo membro fosse negativo la disequazione non sarebbe mai soddisfatta perché un numero positivo non è mai minore di un numero negativo. Dobbiamo allora solo porre la condizione di positività del secondo membro per elevare a potenza cioè \(g(x) \geq 0\); in queste condizioni possiamo elevare a potenza ennesima i due membri della disequazione sapendo che la disequazione razionale ottenuta sarà equivalente a quella di partenza. Adesso non resta che risolvere questa disequazione e valutare le soluzioni alla luce delle condizioni poste in precedenza; questo equivale a porre questa disequazione a sistema con le condizioni. La disequazione irrazionale si trasforma allora nel sistema di tre disequazioni razionali.$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x) \rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x) < [g(x)]^n \end{matrix}\right.$$ ancora una volta se in f(x) o g(x) fossero presenti operazioni che necessitano di porre delle condizioni per la loro esistenza, dopo aver risolto il sistema dobbiamo filtrare le soluzioni attraverso queste condizioni ulteriori

eserzizio

Risolvere la seguente disequazione irrazionale$$x-\sqrt{x+2}>0$$ Per prima cosa porto la disequazione nella forma mostrata in precedenza con il radicale a primo membro e con il segno positivo.$$-\sqrt{x+2} > -x \\ \sqrt{x+2} < x$$L'indice di radice è positivo ed il segno della disequazione è quello di minoranza quindi la disequazione equivale al sistema$$\left\{\begin{matrix} x+2\geq 0 & \rightarrow x\geq -2 \\ x\geq 0 \\ x+2 < x^2 \end{matrix}\right.$$Risolviamo separatamente la terza disequazione del sistema$$-x^2+x+2 < 0 \\ x^2-x-2 > 0$$Calcolo il Delta \( \Delta=1+8=9 \) e le soluzioni dell'equazione associata$$x_1=\frac{1-\sqrt{\Delta}}{2}=-1 \ \ \ \ \frac{1+\sqrt{\Delta}}{2}=2$$considero soluzioni della disequazione quelle esterne ai valori soluzioni dell'equazione associata cioè \( x < -1 \cup x > 2 \). Metto a sistema in un grafico le tre disequazioni per ricavare le soluzioni della disequazione irrazionale.
esempio disequazione irrazionale
Dal grafico ricaviamo le x che soddisfano simultaneamente le tre disequazioni del sistema; in particolare risulta x > 2
Questo sistema è equivalente alla disequazione irrazionale di partenza quindi le soluzioni trovate sono anche soluzioni della disequazione irrazionale.


Consideriamo adesso una disequazione dove il radicale è maggiore dell'espressione a secondo membro.$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$Poniamo ancora per prima cosa la condizione di realtà del radicale cioè \(f(x) \geq 0\) che ancora una volta ci garantisce la positività del primo membro della disequazione; questa volta però se il secondo membro è negativo la disequazione, a differenza del caso precedente, è soddisfatta per ogni x cioè sono sicuramente soluzioni della disequazione quelle x tali che risulti definito il radicale e negativo il secondo membro.$$\left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{matrix}\right.$$ Dove risulta il secondo membro positivo o nullo eleviamo a potenza ennesima entrambi i membri, calcoliamo le soluzioni della disequazione razionale ottenuta e le filtriamo con le condizioni per poter elevare a potenza cioè entrambi i membri non negativi.$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x) \rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{matrix}\right.$$Da questo sistema possiamo eliminare la prima disequazione perché è già contenuta nella terza; infatti questa ultima afferma che la f(x) deve essere maggiore di una quantità elevata a potenza pari e per questo sicuramente non negativa. Otteniamo allora che quando il secondo membro è positivo, le soluzioni sono quelle della disequazione razionale ottenuta elevando a potenza.$$\left\{\begin{matrix} g(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{matrix}\right.$$Le soluzioni della disequazione saranno date allora dall'unione delle soluzioni dei due sistemi ottenuti cioè $$\sqrt[n]{f(x)} > g(x) \rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} g(x) \geq 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{matrix}\right.$$

eserzizio

Risolvere la seguente disequazione irrazionale$$\sqrt{2x^2+1}-x+1>0$$ Porto la disequazione nella forma generale$$\sqrt{2x^2+1}>x-1$$ Visto che l'indice di radice è pari ed il segno della disequazione è di maggioranza la disequazione equivale all'unione di due sistemi$$\left\{\begin{matrix} 2x^2+1\geq 0 \\ x-1 < 0 \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x-1 \geq 0 \\ 2x^2+1 > (x-1)^2\end{matrix}\right.$$Risolviamo separatamente i due sistemi per poi unire le soluzioni. Per il primo sistema abbiamo:
\(2x^2+1\geq 0 \rightarrow 2x^2\geq -1 \) sempre verificata perché il primo membro è positivo e quindi sempre maggiore di un numero negativo;
\(x-1 < 0 \rightarrow x < 1 \)
Deduciamo che sono soluzioni di questo sistema le x che ne soddisfano la seconda disequazione cioè x < 1

Per il secondo sistema si ha:
\(x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1\)
\(2x^2+1 > (x-1)^2 \rightarrow 2x^2+1 > x^2+1-2x \rightarrow x^2+2x >0 \rightarrow x(x+2) > 0\)
Sono soluzioni dell'equazione associata le x che annullano i due fattori cioè x=0 e x=-2 ; poiché il segno della disequazione è maggiore essa ha soluzioni esterne all'intervallo (-2;0). Ricaviamo allora le soluzioni del secondo sistema dal grafico
esempio disequazione irrazionale
Il sistema ha quindi per soluzione le x tali che \( x \geq 1 \)

Le soluzioni totali della disequazione irrazionale si ottengono dall'unione delle soluzioni dei due sistemi precedenti cioè \( x \geq1 \cup x < 1 \) cioè tutte le x reali; scriviamo \( \vee x\in \Re \) che si legge per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali.

Osserviamo per tutti i casi, sia ad indice di radice pari che dispari, che se il verso della disequazione avesse compreso l'uguaglianza ( \( \geq \textrm{ oppure } \leq \) )avremmo dovuto usare i simboli maggiore o uguale oppure minore o uguale nelle disequazioni razionali ottenute elevando a potenza.

Nel caso in cui la disequazione irrazionale presenti più di un radicale dovremmo separarli tra i due membri in modo da ottenere sempre un primo membro positivo ed applicare le regole appena esposte; ricordiamo che possiamo cambiare di segno i due membri della disequazione a patto di cambiare il verso della stessa. Se ad esempio otteniamo che dopo aver imposto le condizioni ed elevato a potenza i due membri otteniamo ancora una disequazione irrazionale, per risolvere quest'ultima dobbiamo reiterare il procedimento.

eserzizio

Risolvere la seguente disequazione irrazionale$$\sqrt{2x+1}-\sqrt{4x^2+1}+2x > 0$$ Porto la disequazione nella forma generale$$\sqrt{2x+1} > \sqrt{4x^2+1}-2x$$ Se avessero avuto lo stesso segno le due radici avrei preferito portarle entrambe al primo membro. Notiamo adesso che l'indice di radice dei radicali è pari e che il verso della disequazione è maggiore quindi questa disequazione equivale all'unione di due sistemi$$\left\{\begin{matrix} 2x+1 \geq 0 \\ \sqrt{4x^2+1}-2x < 0 \end{matrix}\right. \ \cup \ \left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^2+1}-2x \geq 0 \\ (\sqrt{2x+1})^2 > (\sqrt{4x^2+1}-2x)^2\end{matrix}\right.$$ Li risolveremo separatamente osservando che alcune delle disequazioni che li compongono sono anch'esse irrazionali e quindi porteranno ad altri sistemi.
Per vedere lo svolgimento completo o altri esercizi sullo stesso argomento visita la sezione esercizi.
Per questo esercizio clicca qui

disequazioni irrazionali fratte

Questo tipo di disequazioni non aumenta nemmeno minimamente la difficoltà della risoluzione infatti dobbiamo portare tutti i termini a primo membro, portare a denominatore comune e poi risolvere separatamente le disequazioni irrazionali ottenute dall'imporre il numeratore ed il denominatore maggiore di zero. Una volta trovate le soluzioni portarle su un grafico per individuare quali di esse restituiscono il segno della disequazione di partenza(se il verso fosse maggiore o uguale oppure minore o uguale dovremmo utilizzare maggiore o uguale come imposizione per il numeratore).



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