Nella versione per cellulare sono omessi esempi e formule troppo grandi per rendere possibile un caricamento veloce della pagina. Per la pagina completa visitaci da desktop o tablet.

Algebra

Numeri Reali, Radicali Equazioni di II grado Scomposizione trinomio di II grado Equazioni di II grado parametriche Numeri Immaginari e Complessi Equazioni di grado superiore Sistemi di II grado Sistemi di grado superiore Disequazioni di II grado Disequazioni di grado superiore Disequazioni fratte e Sistemi Equazioni irrazionali

Geometria cartesiana

Piano cartesiano Equazione della retta Equazione della parabola Intersezione parabola retta

Calcolo delle probabilità

Calcolo probabilità Teorema probabilità totale Teorema probabilità composta

Statistica

Cenni di statistica Rappresentazione grafica Indicatori per l'analisi dei dati

Geometria

Misura di grandezze Proporzionalità tra grandezze Teorema di Talete Aree dei poligoni Omotetia Similitudine Criteri di Similitudine Proprietà dei triangoli simili Similitudine e circonferenza Sezione aurea del segmento Lunghezza della circonferenza Area del cerchio

Disequazioni di secondo grado


Si definisce disequazione di secondo grado una disequazione del tipo \( ax^2+b^x+c > 0 \) (oppure <0 ) dove il coefficiente a è diverso da zero.

Risolvere una disequazione di secondo grado significa determinare i valori della variabile x per i quali il polinomio al primo membro risulta positivo ( negativo per il caso <0 ). Esistono due strade per risolvere questo tipo di disequazioni, una prettamente algebrica ed un'altra più intuitiva che utilizza conoscenze geometriche.

Metodo algebrico

Consideriamo il polinomio al primo membro della disequazione e supponiamo che risulti \( a > 0 \) ( se non lo fosse basterebbe moltiplicare i due membri della disequazione per -1 ricordando però di invertire il verso della disequazione ). Per studiare il segno del polinomio di secondo grado ci avvaliamo dell'equazione associata per poterlo scomporre; calcoliamo di questa equazione il discriminante e studiamo separatamente i tre casi \( \Delta >0 , \Delta=0 \textrm{ e } \Delta < 0 \).

Δ positivo

Se l'equazione ha il discriminante positivo esisteranno due soluzioni \(x_1 < x_2 \) distinte ed il trinomio lo possiamo scomporre ( vedi Scomposizione trinomio di II grado ) come$$a(x-x_1)(x-x_2)$$quindi dobbiamo trovare il segno dei fattori trascurando il segno di a visto che lo avevamo imposto positivo. Avremo allora:
\( x-x_1 >0 \rightarrow x > x_1 \)
\( x-x_2 >0 \rightarrow x > x_2 \)
Riportiamo in un grafico per ricavare il segno del prodotto

Abbiamo ottenuto che il trinomio è positivo per i valori della x minori della soluzione minore e maggiori della soluzione maggiore mentre è negativo per le x comprese tra le due soluzioni; diremo allora che il polinomio è positivo per i valori esterni all'intervallo di estremi le due soluzioni ed è negativo per i valori interni.
Riformuliamo questo risultato nell'ottica della disequazione e diciamo:

Una disequazione di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c >0 \) con a>0 ha per soluzioni le x esterne all'intervallo di estremi le soluzioni dell'equazione associata, dove queste esistano e siano distinte; diversamente una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c < 0 \) con a>0 ha per soluzioni le x interne al suddetto intervallo.

Δ nullo

Se il discriminante dell'equazione associata è nullo essa ammetterà due soluzioni reali e coincidenti \( x_1=x_2 \) e quindi possiamo scomporre il trinomio come segue$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)=a(x-x_1)^2 $$che risulterà sempre positivo visto che a è positiva per ipotesi ed il binomio è elevato al quadrato. Diremo allora che il polinomio è positivo per tutti i valori delle x tranne che per il valore soluzione dell'equazione associata, per il quale è nullo
Riportando alle disequazioni diremo che

Una disequazione di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c >0 \) con a>0, se l'equazione associata ammette due soluzioni reali e coincidenti, è sempre verificata tranne per il valore della x che soddisfa l'equazione; diversamente una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c < 0 \) con a>0 non è mai verificata

Δ negativo

Se il Δ dell'equazione associata è negativo, essa non ammette soluzioni reali quindi non possiamo scomporre il polinomio per studiarne il segno; opereremo allora in un altro modo modificando il trinomio in modo da comporlo di parti di cui conosciamo il segno.
Per prima cosa dividiamo e moltiplichiamo i termini di grado 1 e 0 per a ( lo possiamo fare perché nella definizione di disequazione avevamo imposto \( a \neq0 \) ) ottenendo$$ax^2+\frac{ab}{a}x+\frac{ac}{a}$$mettiamo adesso a in evidenza$$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$$ora aggiungiamo e sottraiamo la quantità \( \frac{b^2}{4a^2} \) in modo che i primi due termini del trinomio più quello positivo di questi aggiunti formino il quadrato di un binomio$$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})$$raccogliamo i primi tre termini come quadrato di un binomio e portiamo gli altri due a denominatore comune $$a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$$Notiamo che il numeratore della frazione è proprio il discriminante dell'equazione; quindi abbiamo che mentre il denominatore è positivo perché è un quadrato il numeratore è negativo ( Δ negativo per ipotesi ) e la frazione tutta risulterà negativa. La frazione ha davanti il segno meno quindi nel complesso è positiva( \( a[(x+\frac{b}{2a})^2+(-\frac{b^2-4ac}{4a^2})] \) ); tutto il trinomio è quindi la somma di due quantità positive e perciò positivo esso stesso sempre. Diremo allora che il polinomio è positivo ogni valore della x e riportato alle disequazioni significa che:

Una disequazione di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c >0 \) con a>0, se il discriminante dell'equazione associata è negativo, è sempre verificata; diversamente una disequazione del tipo \(ax^2+bx+c < 0 \) con a>0 non è mai verificata


In conclusione diamo la regola generale:

Una disequazione di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c >0 \) con a>0 ha per soluzioni:
a) se il Δ dell'equazione associata è positivo, i valori delle x esterni all'intervallo di estremi le soluzioni dell'equazione;
b) se il Δ dell'equazione associata è nullo, tutti valori delle x tranne quello soluzione dell'equazione;
c) se il Δ dell'equazione associata è nullo, tutti valori delle x appartenenti ad ℝ
.

Una disequazione di secondo grado del tipo \(ax^2+bx+c < 0 \) con a>0 ha per soluzioni i valori delle x interni all'intervallo di estremi le soluzioni dell'equazione associata se il Δ dell'equazione è positivo; nessuna soluzione se il Δ dell'equazione associata è nullo oppure negativo..

Metodo geometrico

Questo metodo si basa sul fatto che il primo membro della disequazione rappresenta l'equazione della parabola \( y=ax^2+bx+c \) e quindi vedere per quali x il trinomio è positivo equivale a cercare per quali x la parabola si trova al di sopra dell'asse delle x. Dobbiamo per prima cosa trovare l'intersezione della parabola con l'asse delle x e studiare separatamente i due tre casi: la parabola e l'asse hanno due punti di intersezione, la parabola è tangente all'asse, la parabola non incontra l'asse. Per calcolare i punti di intersezione dobbiamo risolvere il sistema$$\left\{\begin{matrix} y=y=0\\ ax^2+bx+c \end{matrix}\right.$$che sostituendo il valore della y nella seconda porta all'equazione \(ax^2+bx+c = 0 \) che ci restituisce le ascisse dei punti di intersezione.

Due punti di intersezione

Due punti di intersezione si hanno quando l'equazione \(ax^2+bx+c = 0 \) ammette due soluzioni distinte e quindi quando ha discriminante positivo. Distinguiamo adesso i due casi a<0 e a>0 perché individuano due parabole differenti; la prima con la concavità verso il basso la seconda verso l'alto.

a<0

Notiamo dal grafico che la parabola si trova al di sopra dell'asse delle ascisse per i valori delle x compresi tra i punti di intersezione cioè tra i valori soluzioni dell'equazione associata; questo significa che il polinomio è positivo per i valori delle x interni all'intervallo con estremi le soluzioni dell'equazione associata. Questo coincide con l'intervallo in cui, col metodo algebrico, era soddisfatta la disequazione \(ax^2+bx+c < 0 \) considerando però il coefficiente a positivo; in effetti se noi cambiamo i segni della disequazione cambia pure il verso ed il risultato è lo stesso ( chiedere quando è positivo un trinomio con il coefficiente di secondo grado negativo, equivale a chiedere quando è negativo un trinomio con il coefficiente di secondo grado positivo ).
Sempre dal grafico vediamo che per tutti gli altri valori, esterni ai punti di intersezione, la parabola si trova al di sotto dell'asse e quindi per i valori esterni all'intervallo il trinomio è negativo; ancora una volta troviamo l'intervallo opposto di quello calcolato col metodo algebrico e come prima dipende dall'aver considerato \( a < 0 \).

a>0

La parabola stavolta ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi si trova al di sopra dell'asse delle x per tutti i valori di x esterni a quelli dei punti di intersezione mentre si trova al disotto dell'asse per i valori interni. Questa volta avendo considerato il coefficiente a positivo otteniamo esattamente gli stessi intervalli del metodo algebrico per il caso Δ positivo.


La parabola è tangente all'asse

La parabola incontra in un solo punto l'asse x, il che significa che l'equazione \( ax^2+bx+c =0 \) ha due soluzioni ma coincidenti e quindi ha discriminante nullo. Poiché l'asse della parabola è verticale essa non può che toccare l'asse con il suo vertice e quindi avere tutti i restanti suoi punti al di sopra dell'asse se la concavità è verso l'alto ed al disotto se la concavità è verso il basso.

a<0

La parabola è tutta al disotto dell'asse tranne il punto di tangenza quindi il polinomio è sempre negativo tranne che per il valore di x soluzione dell'equazione associata. Questo caso coincide con l'opposto di quello calcolato col metodo algebrico perché ancora una volta avendo considerato il coefficiente a negativo ci siamo posti nel caso in cui chiedevamo quando fosse negativo un trinomio con il coefficiente a positivo.

a>0

La parabola stavolta ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi si trova tutta al di sopra dell'asse delle x tranne che per il punto di tangenza quindi il trinomio è sempre positivo tranne che per x soluzione dell'equazione associata. Questa volta avendo considerato il coefficiente a positivo otteniamo esattamente gli stessi intervalli del metodo algebrico per il caso Δ nullo.

Parabola ed asse non si toccano

Il fatto che la parabola non tocca l'asse significa che l'equazione \( ax^2+bx+c=0 \) non ammette soluzioni e quindi il suo delta è negativo; inoltre poiché non si toccano siamo sicuri che la parabola sarà tutta al di sopra dell'asse delle ascisse se il coefficiente a è positivo cioè concavità verso l'alto mentre sarà tutta al disotto se a è negativo cioè la concavità è verso il basso.

a<0

La parabola è tutta al disotto dell'asse quindi il polinomio non è mai positivo. Questo caso coincide con l'opposto di quello calcolato col metodo algebrico perché ancora una volta avendo considerato il coefficiente a negativo ci siamo posti nel caso in cui chiedevamo quando fosse negativo un trinomio con il coefficiente a positivo.

a>0

La parabola stavolta ha la concavità rivolta verso l'alto e quindi si trova tutta al di sopra dell'asse delle x quindi il trinomio è sempre positivo. Questa volta avendo considerato il coefficiente a positivo otteniamo esattamente gli stessi intervalli del metodo algebrico per il caso Δ negativo.

Esempio

Calcolare per quali x è soddisfatta la disequazione \( (x+2)^2+4x>x(x+4)+8x^2 \). Svolgiamo i calcoli e portiamola in forma normale
\( x^2+4+4x+4x>x^2+4x+8x^2 \)
\(-8x^2+4x+4>0 \)
\(-2x^2-x+1>0 \)
Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata
\( \Delta=1+8=9 \) adesso grazie al metodo geometrico sappiamo che vi sono due punti di intersezione e poiché la concavità della parabola associata è verso il basso ( a<0 ) essa si troverà sopra l'asse per i punti compresi tra i due punti di intersezione; calcoliamoli
\( x_1=\frac{1-\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} \)
\( x_1=\frac{1+\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{4}{4}=1 \)
Quindi la disequazione è verificata per le x appartenenti all'intervallo \( (-\frac{1}{2},1) \) cioè \( -\frac{1}{2}< x < 1 \).
Con il metodo algebrico avremmo dovuto prima cambiare il segno a tutta la disequazione ricordando di cambiare anche il verso della stessa. \( 2x^2-x-1 < 0 \)
il discriminante è lo stesso quindi l'equazione associata ha due soluzioni distinte coincidenti con quelle prima calcolate. Questa volta chiediamo quando il trinomio è negativo e lo è per le x interne all'intervallo i cui estremi sono le soluzioni dell'equazione associata; quindi per \( -\frac{1}{2}< x < 1 \).



Hai trovato utile questa pagina?

Clicca +1 per consigliarla tra le ricerche di google

Oppure condividi la stessa sui tuoi social network preferiti


Privacy Policy

Indirizzo e-mail

teoremadi@altervista.org

Torna
su

I contenuti di questo sito possono essere copiati e riprodotti a patto di indicarne espressamente la provenienza.
Copyright © 2015 Teoremadi.altervista.org di Zitiello Giuseppe. Tutti i diritti riservati.