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Algebra

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Disequazioni con i valori assoluti

Si definisce disequazione modulare o disequazione ai valori assoluti quella in cui l'incognita compare all'interno di un valore assoluto

Ricordiamo che il valore assoluto una operazione che restituisce il suo argomento quando quest'ultimo positivo mentre restitutisce l'argomento cambiato di segno quando quest'ultimo negativo. Cominciamo col valutare il caso particolare in cui la disequazione costituita da un valore assoluto maggiore o minore di un numero numero k; distinguiamo i casi:
  • I caso |P(x)|> k

    a) per k< 0 otteniamo che la disequazione sempre verificata infatti il modulo per definizione sempre positivo quindi maggiore di tutti i numeri negativi;

    b) per k=0 la disequazione ancora verificata tranne per i valori che annullano il polinomio. Se il verso della disequazione fosse stato di maggiore o uguale la disequazione sarebbe stata verificata anche nei punti che annullano il polinomio;

    c) per k>0 dobbiamo considerare non solo i valori per cui l'argomento del modulo maggiore di k ma anche quelli per cui l'argomento minore di -k perch di essi il modulo ci restituisce i valori positivi che risultano maggiori di k. Dobbiamo, quindi, trovare separatamente le soluzioni di P(x)<-k e P(x)>k e unire gli insiemi di soluzioni per ottenere l'insieme delle soluzioni totale della disequazione.

  • II caso |P(x)|< k

    a) per k< 0 otteniamo che la disequazione non mai verificata infatti il modulo per definizione sempre positivo quindi maggiore di tutti i numeri negativi;

    b) per k=0 la disequazione non ancora verificata perch anche se il polinomio si annullasse dovrebbe risultare 0 < 0 che falsa . Se il verso della disequazione fosse stato di minore o uguale la disequazione sarebbe stata verificata solo nei punti che annullano il polinomio dove risulta 0=0 ;

    c) per k>0 dobbiamo considerare i valori per cui l'argomento del modulo minore di k ma dobbiamo escludere quelli per cui l'argomento minore di -k perch di essi il modulo ci restituisce i valori positivi che risultano maggiori di k. Dobbiamo, quindi, trovare separatamente le soluzioni di P(x)>-k e P(x)<k e intersecare gli insiemi di soluzioni per ottenere l'insieme delle soluzioni totale della disequazione. Quindi equivale a mettere a sistema le due disequazioni

Vediamo adesso un esempio;consideriamo la disequazione:$$\left | x-2 \right |\leq k$$Consideriamo i possibili casi:

per k < 0 la disequazione non mai verificata.

per k=0 la disequazione si riduce all'equazione \( \left | x-2 \right |=0 \) perch il modulo non pu essere mai minore di zero quindi l'unica possibilit per essere verificata la disequazione che sia verificata l'equazione; si ottiene x-2=0 e quindi x=2

per k>0 consideriamo ad esempio k=3 ; eliminiamo allora il valore assoluto scrivendo il sistema di disequazioni:$$\left\{\begin{matrix} x-2\leq 3\\ x-2\geq -3 \end{matrix}\right.$$da cui ricaviamo$$\left\{\begin{matrix} x\leq 5\\ x\geq -1 \end{matrix}\right.$$Poniamo adesso i singoli insiemi soluzione in un grafico per ottenere l'insieme soluzione del sistema.

Otteniamo quindi che l'insieme soluzione del sistema $$-1\leq x\leq 5$$

Vediamo adesso il metodo risolutivo generale per le disequazioni modulari;

esso consiste nell'eliminare il valore assoluto sostituendolo con l'argomento dove quest'ultimo positivo e con l'opposto dell'argomento dove quest'ultimo negativo. Otteniamo quindi pi disequazioni distinte; di ognuna di esse accettiamo solo le soluzioni che sono all'interno dell'insieme in cui definita. Quindi dobbiamo porre a sistema ogni disequazione con il suo insieme di definizione; l'insieme delle soluzioni finale sar poi l'unione degli insiemi delle soluzioni dei singoli sistemi.


Vediamo un esempio esplicativo; consideriamo la disequazione$$\left | x+1 \right |+\left | x-3 \right |>2x+1$$Studiamo i segni degli argomenti dei moduli; questo ci consente di individuare degli intervalli in cui gli argomenti dei moduli hanno segno costante. In ognuno di questi intervalli riscriveremo la disequazione eliminando i moduli ( li sostituiremo con l'argomento se lo stesso positivo o con l'opposto dell'argomento se negativo ).

\( x+1>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x>-1 \)
\( x-3>0 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x>3 \)
Poniamo in un grafico per ottenere gli intervalli.

Otteniamo allora che:

a ) per \( x\leq -1 \) entrambe gli argomenti sono negativi quindi scriviamo il sistema$$I) \ \left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ -(x+1)- & (x-3)>2x+1 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x\leq -1\\ -4x >-1 \rightarrow x< \frac{1}{4} \end{matrix}\right.$$Poniamo in un grafico ed otteniamo


b ) per \( -1< x \leq 3 \) otteniamo che l'argomento del primo modulo positivo mentre quello del secondo negativo e quindi scriviamo il sistema$$II) \ \left\{\begin{matrix} -1< x \leq 3\\ (x+1)-(x-3)>2x+1 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} -1< x \leq 3\\ -2x>-3 \rightarrow x< \frac{3}{2} \end{matrix}\right.$$Poniamo in un grafico ed otteniamo


c ) per \( x>3 \) entrambe gli argomenti dei moduli sono positivi quindi scriviamo il sistema$$III) \ \left\{\begin{matrix} x>3\\ (x+1)+(x-3)>2x+1 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} x>3\\ 0x>3 & \rightarrow \textrm{mai verificata} \end{matrix}\right.$$ l'intersezione tra un insieme vuoto ed un insieme di sicuro l'insieme vuoto quindi non c' bisogno di porre i risultati su un grafico.

Abbiamo calcolato i singoli insiemi soluzione relativi ai singoli intervalli; l'insieme soluzione generale sar dato dall'unione di questi insiemi. Ancora una volta ci aiutiamo con un grafico per ricavare l'insieme finale (ricordando di prendere adesso tutte le parti continue e non solo quelle comuni perch adesso si tratta di una unione e non di una intersezione.

Quindi la soluzione finale : \( x< \frac{3}{2} \).



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