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Algebra

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Disequazioni fratte di primo grado

Si definisce disequazione frazionaria o fratta la disequazione in cui è presente la variabile al denominatore.

Per risolvere questo tipo di disequazione la si deve portare nella forma di una frazione al primo membro e zero al secondo; si impongono poi le condizioni di realtà per il denominatore. A questo punto si studia il segno del numeratore e del denominatore e poi si confrontano perché laddove i segni sono concordi il quoziente avrà segno positivo mentre dove sono discordi il segno del quoziente sarà negativo; quindi se abbiamo una disequazione in cui la frazione è maggiore di zero prenderemo come insieme di soluzioni quello costituito dai numeri per cui il quoziente ha segno positivo mentre se la frazione è minore di zero prenderemo i punti in cui il quoziente ha segno negativo. Alla fine dobbiamo escludere i punti delle condizioni di realtà ( quelli che annullano il denominatore ) dall'insieme delle soluzioni. Ancora una volta ci aiutiamo con una rappresentazione grafica degli insiemi su una retta reale; in particolare tracciamo l'insieme del numeratore e del denominatore come linee tratteggiate dove il segno è negativo e linee continue dove il segno è positivo. Sarà facile allora tracciare la linea che rappresenta il quoziente come continua dove il numero di linee tratteggiate è 0 o 2 e tratteggiata dove vi è una linea tratteggiata ed una continua; oppure si può indicare direttamente il segno del quoziente per ogni intervallo.


Vediamo un esempio esplicativo; consideriamo la disequazione$$\frac{x+2}{x-1}\leq 0 $$imponiamo per prima cosa la condizione di realtà per il denominatore:$$x-1\neq 0 \ \rightarrow \ x\neq 1$$Adesso studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore:

N) \( x+2\geq 0 \ \rightarrow \ x\geq -2 \)

D) \( x-1>0 \ \rightarrow \ x>1 \)

Riportiamo questi dati in un grafico per ricavare il segno del quoziente

Adesso estrapoliamo l'insieme soluzione; poiché la frazione era \( \leq 0 \) dovremo prendere i valori per cui il quoziente è negativo quindi avremo$$-2\leq x < 1$$


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