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Algebra

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Disequazioni fratte e sistemi di disequazioni


La risoluzione delle disequazioni frazionarie di secondo grado o grado superiore segue un procedimento del tutto analogo a quello delle disequazioni di grado superiore al secondo; infatti poiché la regola dei segni è la stessa sia per il prodotto che per il rapporto possiamo portare tutti i termini a primo membro ed a denominatore comune per poi scomporre, se possibile, numeratore e denominatore il polinomi di massimo secondo grado per studiare separatamente il segno di ognuno di essi. Fatto ciò riportiamo sulla retta reale le soluzioni e ricaviamo il segno della frazione allo stesso modo di come ricavavamo quello del prodotto ( la frazione ha segno meno dove la linea tratteggiata è presente in numero dispari, dove non è presente o lo è un numero pari di volte, la frazione ha segno positivo ).

Esempio

Risolvere la seguente disequazione $$ \frac{x+1}{x+2} > \frac{x+3x^2}{x^2+3x+2} $$.
Per prima cosa osserviamo se è possibile scomporre qualche termine e passiamo tutto al primo membro; ad esempio mettiamo in evidenza x al numeratore della seconda frazione ed al suo denominatore osserviamo che il coefficiente del termine di secondo grado è uno e quindi se riusciamo a trovare due numeri la cui somma sia -3 ( il coefficiente di primo grado è l'opposto della somma delle soluzioni ) ed il prodotto 2 potremo scomporre il trinomio ed avremo trovato allo stesso tempo le soluzioni per le quali il trinomio si annulla. In questo caso i due valori sono \( x_1=-1\textrm{ e } x_2=-2 \) e possiamo dividere il trinomio come \( x^2+3x+2=(x-x_1)\cdot(x-x_2)=(x+1)\cdot(x+2) \).
Possiamo adesso imporre le condizioni di realtà per le frazioni cioè escludere dalle soluzioni che troveremo tutti i valori che annullano i denominatori; in questo caso i denominatori si annullano per x=-2 ed x=-1 e quindi imponiamo$$x \neq -1 \textrm{ e } x\neq -2$$ In queste condizioni effettuiamo le scomposizioni ed otteniamo$$ \frac{x+1}{x+2}- \frac{x(1+3x)}{(x+1)\cdot(x+2)} >0$$portiamo a denominatore comune e svolgiamo le operazioni al numeratore$$\frac{(x+1)^2-x(1+3x)}{(x+1)\cdot(x+2)} >0 \\\\ \frac{x^2+1+2x-x-3x^2)}{(x+1)\cdot(x+2)} >0 \\\\ \frac{-2x^2+x+1)}{(x+1)\cdot(x+2)} >0$$Adesso studiamo i segni dei vari pezzi:

\( x+1 >0 \rightarrow x > -1 \)

\( x+2 >0 \rightarrow x > -2 \)

\( -2x^2+x+1>0 \) calcoliamo il discriminante dell'equazione associata \( \Delta=1+8=9 \) è positivo quindi la parabola associata incontra l'asse delle ascisse in due punti distinti e poiché ha la concavità verso il basso ( coefficiente del termine di secondo grado negativo ) essa si troverà al disopra dell'asse per le x comprese tra i due punti di tangenza; calcoliamo le x di questi due punti come soluzioni del'equazione.
\(x_1=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{-4}=\frac{-4}{-4}=1 \)
\(x_2=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{-4}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2} \)
Quindi il trinomio è maggiore di zero per le x tali che \( -\frac{1}{2}< x < 1 \).
avremmo potuto anche cambiare segno alla disequazione, cambiandone pure il verso, ottenendo \( 2x^2-x-1 < 0 \) quindi cercare dove questo trinomio è negativo; alla fine nel grafico dove raggruppiamo le soluzioni avremmo dovuto ricordare di segnare con la linea continua dove questo trinomio è negativo e con la linea tratteggiata dove è positivo perché dove esso è negativo quello precedente ( prima di cambiare segno ) è positivo e viceversa.
Diciamo che nel grafico per lo studio dei segni poniamo come linea continua la parte dove la singola disequazione è soddisfatta e come linea tratteggiata dove non lo è, fermo restando che per studiare il segno dei fattori imponiamo sempre ognuno di loro maggiore di zero. Così facendo evitiamo di intercorrere in errori perché cambiando segno e verso ad una disequazione, cambio il segno del polinomio ma la disequazione resta equivalente e quindi avrà le stesse soluzioni.

Poniamo allora tutto in un grafico

Noi cerchiamo i valori delle x per i quali la frazione è maggiore di zero e quindi le soluzioni sono le x tali che \( -2 < x < -1 \cup -\frac{1}{2} < x < 1 \).

Sistemi di disequazioni

I sistemi di disequazioni di secondo grado, ma anche quelli di grado superiore, hanno lo stesso metodo risolutivo di quelli di primo grado; bisogna risolvere separatamente ogni disequazione e poi intersecare gli insiemi soluzione cioè trovare le soluzioni che sono comuni a tutte le disequazioni del sistema. Quindi dopo che abbiamo risolto ogni disequazione del sistema poniamo queste soluzioni in un grafico dove per ogni disequazione tracciamo una linea continua dove essa è soddisfatta lasciando bianco il resto per evitare confusione con il grafico per il calcolo del segno; infatti stavolta la soluzione finale sarà data dai tratti dove tutte le disequazioni presentano una line continua e non altro.
Quindi se troviamo una disequazione che non è mai verificata possiamo fermarci ed affermare che tutto il sistema non ammetterà soluzione.

Esempio

Risolvere il seguente sistema di disequazioni$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x-1}+\frac{x-1}{x}< 0\\ 2x^2-5x+2< 0 \end{matrix}\right.$$ Indichiamo con la lettera a la prima disequazione e con la lettera b la seconda e svolgiamole separatamente.

a
Imponiamo le condizioni di realtà cioè poniamo che sia \( x-1\neq 0 \rightarrow x\neq1 \textrm{ e } x\neq0 \).
In queste condizioni portiamo il primo membro a denominatore comune ottenendo$$\frac{x^2+(x-1)^2}{x(x-1)}< 0 \\\\ \frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}< 0$$Calcolo separatamente il segno dei pezzi:

\( x >0 \)

\( x-1 >0 \rightarrow x > 1 \)

\( 2x^2-2x+1 >0 \) calcoliamo il discriminante dell'equazione associata \( \frac{\Delta}{4}=1-2=-1 \); è negativo quindi poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo il trinomio è sempre positivo ( col metodo geometrico si ha che poiché il discriminante è negativo la parabola non incontra l'asse e poiché ha la concavità verso l'alto deve stare forzatamente tutta sopra l'asse ) Poniamo in un grafico

Noi cercavamo per quali valori delle x la frazione è negativa quindi le soluzioni sono le x tali che \( 0 < x < 1 \).


b
Calcoliamo il discriminante della equazione associata \( \Delta=25-16=9 \); è positivo quindi l'equazione ammette due soluzioni e poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, il trinomio sarà positivo per i valori esterni alle soluzioni e negativo per i valori interni. Calcoliamo queste soluzioni:
\( x_1=\frac{5-\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)
\( x_2=\frac{5+\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{8}{4}=2 \)
Noi cerchiamo i valori delle x che rendono il trinomio minore di zero quindi le soluzioni sono \( x: \frac{1}{2} < x < 2 \) dove ( "x:" significa "x tale che" )

Raggruppiamo adesso in un solo grafico le soluzioni delle due disequazioni per ricavare le soluzione del sistema.

Considerando solo i tratti dove abbiamo una linea continua per entrambe le disequazioni ottenendo come soluzioni del sistema le \( x: \frac{1}{2} < x < 1 \)



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