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Algebra

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Disequazioni di grado superiore al secondo


Non esiste un metodo generale per la risoluzione delle disequazioni di grado superiore al secondo, anzi l'unico strumento che abbiamo a disposizione è quello delle regole per la scomposizione dei polinomi; infatti dovremo sempre portare la disequazione in forma normale cioè con il solo termine nullo al secondo membro e poi scomporre il primo membro nel prodotto di fattori dei quali sappiamo valutare il segno. Fatto questo si sfruttano le regole per il segno del prodotto per determinare il segno complessivo dell'espressione.
Mettiamo in pratica tutto questo con un paio di esempi.

Esempio

Risolvere la disequazione \( x^6-1>0 \).
Scomponiamo il binomio a primo membro.$$x^6-1=(x^3+1)\cdot(x^3-1)=(x+1)\cdot(x^2-x+1)\cdot(x-1)\cdot(x^2+x+1)$$avendo applicato prima il prodotto notevole somma per differenza e poi la scomposizione della somma e della differenza di cubi; studiamo separatamente il segno dei singoli fattori.

\(x+1 >0 \rightarrow x >-1 \)

\(x-1 >0 \rightarrow x >1 \)

\(x^2-x+1 >0 \) è una disequazione di secondo grado quindi per risolverla calcoliamo il discriminante dell'equazione associata
\( \Delta=1-4=-3 \) il discriminante è negativo e poiché il coefficiente della potenza di secondo grado è positiva, si ha che il trinomio è sempre positivo quindi questa disequazione è sempre soddisfatta;

\(x^2+x+1 >0 \) è una disequazione di secondo grado quindi per risolverla calcoliamo il discriminante dell'equazione associata
\( \Delta=1-4=-3 \) il discriminante è negativo e poiché il coefficiente della potenza di secondo grado è positiva, si ha che il trinomio è sempre positivo quindi questa disequazione è sempre soddisfatta;

Rappresentiamo sulla retta reale i risultati

Poiché la traccia chiede per quali valori di x il polinomio è positivo dobbiamo considerare come soluzioni i tratti di retta per i quali il prodotto è positivo ( il prodotto è positivo dove non c'è linea tratteggiata oppure dove sono in numero pari ). Quindi la soluzione è \( x< -1 \cup x >1 \)


Esempio

Calcolare per quali valori delle x è soddisfatta la disequazione \( 2x^4+3x^3-4x^2-3x+2< 0 \)
Scomponiamo il polinomio coinciamo a scomporre con la regola di Ruffini notando che il valore 1 sostituito alla x mi restituisce resto 0 quindi il polinomio è divisibile per (x-1).$$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\1\end{matrix} & \begin{vmatrix} 2 &3 &-4 &-3 \\ \blacktriangledown & & & \\ \blacktriangledown & 2 &5 &1 \end{vmatrix} & \begin{matrix} 2\\ \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} & \begin{vmatrix} 2 & 5 & +1 & -2 \end{vmatrix} & 0 \end{matrix}}$$ed il polinomio diventa$$(x-1)\cdot(2x^3+5x^2+x-2)$$procediamo nella scomposizione del quadrinomio sempre col metodo di Ruffini notando che il valore -1 mi restituisce resto zero se sostituito alla x quindi il quadrinomio è divisibile per (x+1); procediamo al calcolo$$\frac{\begin{matrix} \begin{matrix} \\ \\-1\end{matrix} & \begin{vmatrix} 2 &5 &1\\ \blacktriangledown & & \\ \blacktriangledown & -2 &-3 \end{vmatrix} & \begin{matrix} -2\\ \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}}{\begin{matrix} \ & \begin{vmatrix} 2 & +3 & -2 \end{vmatrix} & 0 \end{matrix}}$$e quindi il polinomio diventa$$(x-1)\cdot(x+1)\cdot(2x^2+3x-2)$$studiamo separatamente il segno di questi tre fattori:

\(x-1 >0 \rightarrow x >1 \)

\(x+1 >0 \rightarrow x >-1 \)

\( 2x^2+3x-2 >0 \) è una disequazione di secondo grado quindi per risolverla calcoliamo il discriminante dell'equazione associata
\( \Delta=9+16=25 \) il discriminante è positivo e lo è anche il coefficiente della potenza di secondo grado quindi il polinomio sarà positivo per tutti i valori esterni all'intervallo i cui estremi sono le soluzioni dell'equazione associata; calcoliamo queste soluzioni

\(x_1=\frac{-3-\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \)

\(x_2=\frac{-3+\sqrt{\Delta}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)

quindi \( 2x^2+3x-2 >0 \textrm{ per } x < -2 \cup x > \frac{1}{2} \)

Riportiamo tutto sulla retta reale per ricavare il segno del prodotto.

Poiché la traccia ci chiedeva per quali x il polinomio era negativo dovremo considerare soluzioni solo i tratti di retta per i quali il segno del prodotto è meno cioè i tratti da -2 a -1 e da \( \frac{1}{2} \) a 1. Quindi la soluzione finale è data dalle x appartenenti ad uno dei due intervalli e la scriviamo$$-2 < x < -1 \cup \frac{1}{2} < x < 1$$



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